BAC C 2016 MATHEMATIQUES

Type

baccalauréat

Option

c / e

Country

Cameroon

Year

2016

Duration

240 Min

Coefficient

Marks

Subject

MATHEMATIQUES

Paper 1 :

Exercise 1 : (4.5 Marks)

Problem : (4.5 Marks)

Part 1 :

Une urne contient 5 jetons portant les réels : $- \sqrt{2}; - 1; 0; 1$ et $\sqrt{2}$ . On tire successivement et avec remise deux jetons de l'urne. On appelle $x$ le numéro du premier jeton et $y$ celui du deuxième jeton et on construit le nombre complexe $z = x + i y .$

Combien de nombres complexes peut-on ainsi construire?

1 mks mk

Quelle est la probabilité d'obtenir :

Un nombre complexe de module $\sqrt{2}$ ?

1 mks mk

Un nombre complexe dont un argument est : $\frac{π}{2}$ ?

1 mks mk

mks mk

On effectue trois fois de suite le tirage successif et avec remise de 2 jetons de l'urne et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à l'issue de ces trois tirages associe le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ .

Déterminer la loi de probabilité de $X .$

1.5 mks mk

Exercise 2 : (9.5 Marks)

Problem : (9.5 Marks)

Part 1 :

On considère dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, les surfaces $(S)$ et $(S')$ d'équation respectives $z = {(x - y)}^{2}$ et $z = x y .$ On prendra 1cm comme unité.

Déterminer le vecteur $\vec{i} \land \vec{j} \land (\vec{2 k) .}$

0.25 mks mk

On note $(I_{2})$ l'intersection de $(S')$ avec le plan $(P_{1})$ d'équation $z = 0 .$

Déterminer la nature et éléments caractéristiques de $(I_{2}) .$

0.5 mks mk

On note $(I_{3})$ l'intersection de $(S)$ et de surface $(S ")$ d'équation $z = - 2 x y + 4 + 2 y^{2} .$

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques du projété orthogonal de $(I_{3})$ sur le plan $(O, \vec{i}, \vec{j}) .$

0.75 mks mk

Part 2 : Série C uniquement

On note $(I_{4})$ l'intersection de $(S)$ et de la surface $(S') .$ Dans cette partie, on veut démontrer que le seul point de $(I_{4})$ dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point $O (0; 0; 0) .$ On suppose qu'il existe un point $M$ appartenant à $(I_{4})$ et dont les coordonnées $x, y$ et $z$ sont des entiers naturels.

Montrer que si $x = 0$ , alors le point $M$ est le point $O .$

0.5 mks mk

On suppose désormais que l'entier $x$ n'est pas nul.

Montrer que les entiers $x$ et $y$ vérifient $x^{2} - 3 x y + y^{2} = 0 .$

En déduire qu'il existe alors deux entiers naturels $x'$ et $y'$ premiers entre eux tels que : $x'^{2} - 3 x' y' + y'^{2} = 0 .$

1.25 mks mk

Montrer que $x'$ divise $y'^{2}$ , puis que $x'$ divise $y'$

1 mks mk

Etablir que $x = 0$ et conclure.

1.25 mks mk

mks mk

Part 3 : Série E uniquement

$A B C O$ est un tétraède régulier d'arête égale à 2. L'arête $[O B]$ est portée par l'axe des ordonnées. $C$ est un point du plan $(O, \vec{i}, \vec{j})$ d'abscisse égale à $\sqrt{3 .}$

Faire un schéma

1 mks mk

Montrer que les coordonnées des points $A, B$ et $C$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ sont respectivement $(\frac{\sqrt{3}}{3}; 1; \frac{2 \sqrt{6}}{3}); (0; 2; 0)$ et $(\sqrt{3}; 1; 0) .$

2 mks mk

mks mk

En déduire le volume du tétraède $A B C O$ .

1 mks mk

Exercise 3 : (10 Marks)

Problem : (10 Marks)

Part 1 :

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}) .$ On considère l'ensemble $(E)$ des points $M (x; y)$ tels que $\sqrt{|x|} + \sqrt{|y|} = 1 .$ On va déterminer toutes les isométries du plan qui laissent $(E)$ globalement invariant.

Soit $f$ la fonction numérique d'une variable réelle définie par $f (x) = {(1 - \sqrt{|x|})}^{2}$ pour tout x appartenant à [-1;1]. On note $(C)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}) .$ On prendra 3cm comme unité sur les axes.

Déterminer la parité de $f$ .

0.25 mks mk

Quelle conséquence géométrique peut-on en déduire?

0.25 mks mk

mks mk

Soit $g$ la restriction de $f$ à $[0; 1]$ et $t$ la fonction défine sur $[0, 1]$ par $t (x) = g (x^{2}) .$

Vérifier que $g (x) = {(1 - \sqrt{|x|})}^{2}$ pour tout $x \in [0; 1] .$

0.25 mks mk

Etudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$ . Que peut-on conclure pour la courbe $(C)$ de $f$ .

0.5 mks mk

Montrer que pour tout $x \in] 0; 1], g' (x) = \frac{- 1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} .$

0.25 mks mk

Dresser le tableau de variation de $g .$

0.5 mks mk

Montrer que $t$ est solution de l'équation différentielle $y " - 2 = 0$ sur $[0; 1] .$

0.25 mks mk

mks mk

Representer soigneusement dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , la courbe $(C)$ e la fonction $f .$

0.5 mks mk

Déterminer l'aire du domaine limité par l'axe des abscisses et la courbe $(C)$ de $f .$

0.5 mks mk

mks mk

Soit $h$ la fonction définie sur $[- 1; 1]$ par $f (x) = - h (x) .$ Déduire de $(C)$ de $h$ dans le même repère $(O, \vec{i}, \vec{j}) .$

0.5 mks mk

On considère la suite $(U_{n})$ définie par $U_{0} = \frac{1}{2}$ et $U_{n + 1} = f (U_{n}) .$

Vérifier que la suite $(U_{n})$ est bien définie.

0.5 mks mk

Montrer que $(U_{n})$ n'est ni croissante ni décroissante.

0.5 mks mk

mks mk

Part 2 :

On note $(Γ)$ l'ensemble des isométries du plan qui laissent $(E)$ globalement invariant.

Montrer que pour tout $M (x; y)$ appartenant à $(E)$ , on a : $- 1 \leq x \leq 1 .$

0.5 mks mk

Montrer que $(E)$ est la réunion des courbes $(C)$ et $(C') .$

0.5 mks mk

On considère dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ les points $I (1; 0); J (0; 1); K (- 1; 0)$ et $L (0; - 1) .$

Déterminer l'ensemble des couples $(A; B)$ de points de $(E)$ tels que $d (A; B) = 2 .$

0.25 mks mk

Soit $S$ une isométrie du plan laissant $(E)$ globalement invariant. Montrer que : $S (O) = O .$

0.5 mks mk

En déduire toutes les natures possibles de l'isométrie $S$

0.5 mks mk

mks mk

Soit $r$ un déplacement laissant globalement invariant $(E) .$

Vérifier que $r$ est soit une rotation de centre $O$ et d'angle non nul, soit l'application identique du plan.

0.5 mks mk

En déduire par leurs éléments caractéristiques tous les déplacements laissant $(E)$ globalement invariant.

1 mks mk

mks mk

Soit $S_{Δ}$ une réflexion du plan d'axe $Δ$ laissant $(E)$ globalement invariant.

Vérifier que $O \in Δ .$

0.25 mks mk

En déduire par leurs éléments caractéristiques toutes les réflexions qui laissent $(E)$ globalement invariant.

1 mks mk

mks mk

Ecrire alors en extension l'ensemble $(Γ) .$

0.25 mks mk