Un entier naturel est un nombre positif permettant de dénombrer des objets considérés comme équivalents. Nous pouvons compter les livres dans une librairie : Un livre, deux livres, trois livres,…

1, 2 et 3 sont des entiers naturels. Chaque entier naturel a un successeur unique en ajoutant +1.

Le successeur de 11 est 12 ; celui de 1024 est 1025. Le nombre zéro est le plus petit entier naturel.

L’ensemble des entiers naturels est IN. On note IN*, l’ensemble des entiers naturels ne contenant pas le nombre zéro (IN* = {1,2,3,4,5,…}).

On peut constater que :

IN* est une partie de IN car tous ses éléments appartiennent à IN
IN* n’est pas un ensemble vide
Le plus petit élément de IN* est 1

Un axiome fondamental de IN est le suivant :

Toute partie non vide de IN admet un plus petit élément.

Une propriété qui dépend d’un entier naturel n peut être la propriété suivante :

P_n : « $P o u r t o u t n \in I N, 10^{n} - 1 e s t u n m u l t i p l e d e 9$ ». Comme n ∈ IN, n peut prendre n’importe quel valeur IN ; Le plus petit élément ici est 0.

Q_k : « $P o u r t o u t k \in I N a v e c k > 1, 2 k e s t u n n o m b r e p a i r$ ». k peut prendre n’importe quel valeur IN strictement plus grand que 1 ; Le plus petit élément ici est 2.

R_i : « $P o u r t o u t i \in I N *, 1 + 2 + 3 + \dots + i = \frac{i (i + 1)}{2}$ ». i peut prendre n’importe quel valeur IN sauf 0 ; Le plus petit élément ici est 1.

Le choix de Pn, Qk et Ri par exemple nous rappelle que ces propositions dépendent de n, k et i.

Démontrer par récurrence revient à montrer que ces propriétés dépendant d’un entier naturel sont vraies. Le principe est très simple et facile. Mais avant de présenter le principe intéressons nous a la propriété Ri ; on constate qu’il s’agit d’une somme des entiers ; or ce type d’opération peut être confus parfois, ce qui nous emmene donc à étudier les sommes et produits dans la prochaine partie.

$n \in IN,10n - 1est un multiple de9». Comme n \in I N, n peut prendre n’importe quel valeur I N; Le plus petit élément ici est 0.Q k : « Pour tout k\in INavec k > 1, 2k est un nombre pair». k peut prendre n’importe quel valeurINstrictement plus grand que 1 ; Le plus petit élément ici est 2.R i : « Pour tout i\in IN*, 1+2+3+\dots+i = i(i+1)/2». i peut prendre n’importe quel valeurINsauf 0 ; Le plus petit élément ici est 1.$

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