PROBATOIRE D/TI 2015 MATHEMATIQUES

Type
probatoire
Option
d / ti
Country
Cameroon
Year
2015
Duration
180 Min
Coefficient
4
Marks
20
Subject
MATHEMATIQUES
Paper 1 :
Exercise 1 : (4 Marks)
Problem : (4 Marks)
Part 1 :

Les 200 ouvriers d'une entreprise sont repartis suivant leurs salaires journaliers exprimés en milliers de francs.

1.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous:

Salaires journaliers [1;2[ [2;3[ [3;5[ [5;8[
Effectifs 34      
Effectifs cumulés croissants   110   200
Centres de classe     4  

 

2 mks mk
2.

Déterminer le mode de cette série et le salaire moyen journalier.

0.5 mks mk
3.

Calculer sous forme de fraction irréductible, la valeur exacte de la médiane de cette série.

1 mks mk
4.

Estimer le nombre d'ouvriers ayant un salaire journalier inférieur à 4500F.

0.5 mks mk
Exercise 2 : (5 Marks)
Problem : (5 Marks)
Part 1 :

Issa et Pierre disposant chacun d'une somme de 300.000FCFA, ont un projet d'acheter, chacun une moto qui coûte 390.000FCFA. Un établissement de micro finance leur propose deux types d'épargne pour les aider à pouvoir acheter leur moto. Le premier type d'épargne permet au capital d'augmenter de 7% chaque année. Le second permet au capital d'augmenter de 21.000FCFA chaque année. Issa choisit le premier type d'épargne et Pierre le second le 1er janvier 2010. On désigne par Un et Vn les capitaux respectifs de Issa et Pierre en l'an 2010+n. On pose : U0=V0=300.000.

1.
a)

Calculer le capital de Issa au premier janvier 2011..

0.5 mks mk
b)

Montrer que Un+1=1,07Un pour tout n.

0.5 mks mk
c)

En déduire la nature de la suite (Un).

0.5 mks mk
d)

Exprimer en fonction de n le capital de Issa au 1er janvier de l'an 2010+n.

0.5 mks mk
mks mk
2.
a)

Calculer le capital de Pierre au 1er janvier 2011.

0.5 mks mk
b)

Exprimer Vn+1 en fonction de Vn pour n de .

0.5 mks mk
c)

En déduire la nature de la suite (Vn).

0.5 mks mk
d)

Exprimer en fonction de n le capital de Pierre au 1er janvier de l'an 2010+n.

0.5 mks mk
mks mk
3.
a)

Déterminer U3 et U4.

0.5 mks mk
b)

En déduire àpartir de quelle année Issa pourra-t-il acheter sa moto.

0.25 mks mk
mks mk
4.

A partir de quelle année Pierre pourra-t-il acheter sa moto?

0.25 mks mk
Exercise 3 : (11 Marks)
Problem : (11 Marks)
Part 1 :
1.

Développer (3-1)2.

0.25 mks mk
2.

Résoudre dans l'équation 2x2-(3+1)x+32=0.

1 mks mk
3.

En déduire dans , puis dans [0;2π[ l'ensemble solution de l'équation: 2cos2x-(3+1)cosx+32=0.

1.25 mks mk
Part 2 :

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i,j). Soit A(1,-4), B(9,-4) et C(1,2) trois points du plan. Soit I le milieu du segment [BC] et G l'isobarycentre des points A,B et C.

1.
a)

Déterminer les coordonnées de G.

0.5 mks mk
b)

Que représente G pour le triangle ABC?

0.25 mks mk
c)

Calculer les distances AB,AC et BC. En déduire que le triangle ABC est rectangle en A.

1 mks mk
mks mk
2.
a)

Déterminer et construire l'ensemble C des points M du plan tels que MB2+MC2=100.

1 mks mk
b)

En déduire une représentation paramétrique de C.

0.5 mks mk
mks mk
Part 3 :

On considère la fonction f numérique de variable réelle, de courbe représentative (Cf) dans un repère orthonormé (O,i,j). Le tableau de variation de f est le suivant :

1.

Par lecture du tableau de variation ci-dessus; déterminer :

a)

L'ensemble de définition Df de f.

0.25 mks mk
b)

Les limites de f aux bornes de Df.

1 mks mk
c)

f(-1);f(1); f'(-1) ;f'(1).

1 mks mk
mks mk
2.

On suppose que f(x)=ax+b+cx pour tout x0a,b et c sont des réels.

a)

En utilisant les résultats précédents, montrer que f(x)=x2+x+1x pour tout  x0.

0.5 mks mk
b)

Montrer que la droite D d'équation y=x+1 est asymptote oblique à la courbe (Cf).

0.5 mks mk
c)

Montrer que le point Ω(0;1) est centre de symétrie pour la courbe (Cf).

0.5 mks mk
d)

Construire avec soin (Cf) et (D) dans le même repère orthonormé (O,i,j).

Unité sur les axes : 1cm.

1.5 mks mk
mks mk