PROBATOIRE C/E 2017 MATHEMATIQUES

Type

probatoire

Option

c / e

Country

Cameroon

Year

2017

Duration

180 Min

Coefficient

Marks

Subject

MATHEMATIQUES

Paper 1 :

Exercise 1 : (3 Marks)

Problem : (3 Marks)

On considère l'équation (E) : $2 \sqrt{2} \cos^{2} x + (2 - \sqrt{2}) \cos x - 1 = 0$ et le polynôme $P (x) = 2 \sqrt{2} x^{2} + (2 - \sqrt{2}) x - 1$ de variable réelle $x$ .

Part 1 :

Calculer $P (\frac{1}{2})$ .

0.5 mks mk

Vérifier que le polynôme $P (x)$ admet 2 racines distinctes.

0.5 mks mk

En utilisant la somme ou le produit des racines, déterminer l'autre racine.

0.5 mks mk

En déduire dans l'intervalle $[0; 2 π [$ , l'ensemble solutions de l'équation (E).

1 mks mk

Placer les points images des solutions de (E) sur un cercle trigonométrique.

0.5 mks mk

Exercise 2 : (4 Marks)

Problem : (4 Marks)

E est un plan vectoriel; $B = (\vec{i}, \vec{j})$ est une base de E et $f$ est l'endomorphisme de E défini par $f (\vec{i} - \vec{j}) = 3 \vec{i} - \vec{j}$ et $f (\vec{i} + \vec{j}) = - \vec{i} + 5 \vec{j}$ .

Part 1 :

Montrer que la matrice de $f$ dans la base $B$ est $(\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ .

0.75 mks mk

Soit $g$ l'endomorphisme de E défini par $g (\vec{i}) = \vec{i} - \vec{j} + f (\vec{i})$ et $g (\vec{j}) = 8 \vec{i} + f (\vec{j})$ .

Déterminer la matrice A de $g$ dans la base $B$ .

0.75 mks mk

Montrer que $K e r g$ est une droite vectorielle dont une base est $\vec{e_{1}} = 6 \vec{i} - 2 \vec{j}$ .

0.75 mks mk

Montrer que $I m g$ est une droite vectorielle dont une base est $\vec{e_{2}} = 2 \vec{i} + \vec{j}$ .

0.75 mks mk

mks mk

On pose $B' = (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})$ .

Montrere que $B'$ est une base de E.

0.25 mks mk

Montrer que $g (\vec{e_{2}}) = 5 \vec{e_{2}}$ .

0.5 mks mk

En déduire la matrice A' de $g$ dans la base $B'$ .

0.25 mks mk

mks mk

Exercise 3 : (2 Marks)

Problem : (2 Marks)

Part 1 :

Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\{\begin{cases} x + y = 40 \\ x \times y = 256 \end{cases}$ .

0.5 mks mk

$a$ , $b$ et $c$ sont dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite géométrique à termes positifs et décroissante tels que:

$\{\begin{cases} a + b + c = 56 \\ a \times b \times c = 4096 \end{cases}$ .

Calculer $16^{3}$ et déterminer $b$ .

0.5 mks mk

En déduire $a$ et $c$ .

1 mks mk

mks mk

Exercise 4 : (11 Marks)

Problem : (11 Marks)

Le problème comporte trois parties 1, 2 et 3.

Le plan est muni d'un repère orthonormé ( $O, \vec{i}, \vec{j}$ ); on considère A(0 ; 2), B(-2 ; 0) et C(2 ; 0) trois points du plan. On note G le barycentre des points pondérés (A, 2); (B, 1) et (C, 1).

Part 1 :

Montrer que le point O est le milieu du segment [BC].

0.5 mks mk

En déduire que le point G appartient à la droite (AO).

0.25 mks mk

Déterminer les coordonnées du point G.

0.5 mks mk

Montrer que pour tout point M du plan, $A M^{2} + O M^{2} = 2 G M^{2} + 2$ .

0.5 mks mk

En déduire que l'ensemble (T) des points M du plan tels que : $2 A M^{2} + B M^{2} + C M^{2} = 28$ est un cercle dont on précisera le rayon et le centre.

0.75 mks mk

Part 2 :

Soit la fonction $f$ définie de $ℝ$ vers $ℝ$ par $f (x) = a x^{2} + b x + c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont trois réels. On suppose que la courbe de la fonction $f$ passe par les points A, B et C.

Montrer que pour tout réel $x$ , $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2$ .

1.5 mks mk

Résoudre dans $ℝ$ , l'équation $f (x) > 0$ .

0.5 mks mk

Part 3 :

Soit $g$ la fonction définie de $ℝ$ vers $ℝ$ par $g (x) = \frac{- x^{2} + x - 4}{x}$ , (C) sa courbe représentative.

Déterminer l'ensemble de définition D de $g$ .

0.5 mks mk

Déterminer les limites de $g$ en $- \infty$ , $+ \infty$ , $0^{-}$ et $0^{+}$ ; en déduire une équation de l'asymptote verticale à la courbe (C).

1.25 mks mk

Montrer que pour tout réel $x$ différent de zéro, $g' (x) = \frac{2 f (x)}{x^{2}}$ où $g'$ est la fonction dérivée de $g$ .

0.75 mks mk

Déduire de la question B-2), le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variation.

1 mks mk

Montrer que pour tout réel $x$ différent de zéro, $g (x) = - x + 1 - \frac{4}{x}$ et en déduire que la droite (D) d'équation $y = - x + 1$ est asymptote obliique à la courbe (C).

1 mks mk

Déterminer la distance du point G à la droite (D) et en déduire que la droite (D) est sécante au cercle (T). Préciser les coordonnées de leurs points d'intersection.

1 mks mk

Tracer la courbe (C) et ses asymptotes. (unités sur les axes: 1cm)

1 mks mk