Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l’on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ pour en former un troisième $\vec{u} + \vec{v}$ (ou $\vec{u} - \vec{v}$ ) et aussi afin que l’on puisse multiplier chaque vecteur $\vec{u}$ d’un facteur $λ$ pour obtenir un vecteur $λ \cdot \vec{u}$ .

Formellement :

Un R-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni :

• d’une loi de composition interne +, c’est-à-dire d’une application de $E \times E$ dans $E$ :

$E \times E \to E (\vec{u}, \vec{v}) \mapsto \vec{u} + \vec{v}$

• d’une loi de composition externe . , c’est-à-dire d’une application de R × E dans E :
$ℝ \times E \to E (λ, \vec{u}) \mapsto λ \cdot \vec{u}$

qui vérifient les propriétés suivantes :
$1 . \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} (p o u r t o u s \vec{u}, \vec{v} \in E) = > C o m m u t a t i v i t é 2 . \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} (p o u r t o u s \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in E) = > A s s o c i a t i v i t é 3 . I l e x i s t e u n é l é m e n t n e u t r e 0_{E} \in E t e l q u e \vec{u} + 0_{E} = \vec{u} (p o u r t o u t \vec{u} \in E) 4 . T o u t \vec{u} \in E a d m e t u n s y m é t r i q u e \vec{u} e s t n o t é - \vec{u} 5 . 1 \cdot \vec{u} = \vec{u} (p o u r t o u t \vec{u} \in E) 6 . λ \cdot (µ \cdot \vec{u}) = (λ µ) \cdot \vec{u} (p o u r t o u s λ, µ \in ℝ, \vec{u} \in E) 7 . λ \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = λ \cdot u + λ \cdot v (p o u r t o u s λ \in ℝ, u, v \in E) 8 . (λ + µ) \cdot \vec{u} = λ \cdot \vec{u} + µ \cdot \vec{u} (p o u r t o u s λ, µ \in ℝ, u \in E)$

Montrons que les ensembles suivants des espaces vectoriels:

$1 . ℝ^{2} = {(x, y) / x \in ℝ, y \in ℝ} - S o i e n t \vec{u} = (x, y) \in ℝ^{2} e t \vec{v} = (x', y') \in ℝ^{2}, \vec{u} + \vec{v} = (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') = (x' + x, y' + y) = (x', y') + (x, y) = \vec{v} + \vec{u} \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} a l o r s (ℝ^{2}, +) e s t c o m m u t a t i f$

$- S o i e n t \vec{u} = (x, y) \in ℝ^{2}, \vec{v} = (x', y') \in ℝ^{2}, \vec{w} = (x'', y'') \in ℝ^{2}, (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = ((x, y) + (x', y')) + (x'', y'') (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = (x + x', y + y') + (x'', y'') (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = (x + x' + x'', y + y' + y'') (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = (x + (x' + x''), y + (y' + y'')) (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = (x, y) + ((x' + x''), (y' + y'')) (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = (x, y) + ((x', y'), (x'', y'')) (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v}, \vec{w}) a l o r s (ℝ^{2}, +) e s t a s s o c i a t i f$ $- S o i t \vec{u} = (x, y) \in ℝ^{2}, \vec{u} + 0_{E} = (x, y) + (0, 0) \vec{u} + 0_{E} = (x + 0, y + 0) \vec{u} + 0_{E} = (x, y) \vec{u} + 0_{E} = \vec{u} a l o r s (ℝ^{2}, +) a d m e t u n é l é m e n t n e u t r e$

$- S o i t \vec{u} = (x, y) \in ℝ^{2}, \vec{u} + (- \vec{u}) = (x, y) + (- x, - y) \vec{u} + (- \vec{u}) = (x - x, y - y) \vec{u} + (- \vec{u}) = (0, 0) \vec{u} + (- \vec{u}) = 0_{E} a l o r s (ℝ^{2}, +) e s t s y m é t r i s a b l e d o n t l e s y m é t r i q u e e s t l' o p p o s é - \vec{u} . (ℝ^{2}, +) e s t d o n c u n g r o u p e a b é l i e n c a r v é r i f i e l e s 4 c o n d i t i o n s c i - d e s s u s .$

$- S o i t \vec{u} = (x, y) \in ℝ^{2}, 1 . \vec{u} = 1 . (x, y) 1 . \vec{u} = (1 . x, 1 . y) 1 . \vec{u} = (x, y) 1 . \vec{u} = \vec{u}$

$- S o i t \vec{u} = (x, y) \in ℝ^{2}, λ e t µ \in ℝ, λ \cdot (µ \cdot \vec{u}) = λ \cdot (µ \cdot (x, y)) λ \cdot (µ \cdot \vec{u}) = λ \cdot (µ x, µ y) λ \cdot (µ \cdot \vec{u}) = (λ µ x, λ µ y) λ \cdot (µ \cdot \vec{u}) = ((λ µ) x, (λ µ) y) λ \cdot (µ \cdot \vec{u}) = (λ µ) . (x, y) λ \cdot (µ \cdot \vec{u}) = (λ µ) . \vec{u}$

$- S o i t \vec{u} = (x, y) \in ℝ^{2}, \vec{v} = (x', y') \in ℝ^{2}, λ \in ℝ, λ \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = λ \cdot ((x, y) + (x', y')) λ \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = λ \cdot (x + x', y + y') λ \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = (λ (x + x'), λ (y + y')) λ \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = (λ x + λ x', λ y + λ y') λ \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = (λ x, λ y) + (λ x' + λ y') λ \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = λ (x, y) + λ (x' + y') λ \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = λ \vec{u} + λ \vec{v}$

$- S o i e n t \vec{u} = (x, y) \in ℝ^{2}, λ, µ \in ℝ, (λ + µ) \cdot \vec{u} = (λ + µ) \cdot (x, y) (λ + µ) \cdot \vec{u} = ((λ + µ) x, (λ + µ) y) (λ + µ) \cdot \vec{u} = (λ x + µ x, λ y + µ y) (λ + µ) \cdot \vec{u} = (λ x, λ y) + (µ x, µ y) (λ + µ) \cdot \vec{u} = λ (x, y) + µ (x, y) (λ + µ) \cdot \vec{u} = λ \vec{u} + µ \vec{u} C o n c l u s i o n : (ℝ^{2}, +, .) e s t u n e s p a c e v e c t o r i e l s u r ℝ^{2} .$

PREREQUIS

Section {{(section.number)}} : {{section.title}}

Exercise {{exerciseObj.number}} : {{exerciseObj.title}} ({{exerciseObj.marks}} Marks)

Part {{(part.number)}} : {{part.title}}

Test {{testObj.number}}